Un poco de historia

Cuando afirmamos que al tirar una moneda al aire la probabilidad de que salga cara es 0,5 hay dos posibles interpretaciones de lo que esta afirmación significa. Por un lado, puede significar que si lanzamos la moneda muchas veces esperamos obtener el mismo número de caras que de cruces. Esta es la interpretación frecuentista de la probabilidad. Por otro lado, según la interpretación bayesiana, la probabilidad de 0,5 es algo subjetivo, es decir, es lo que un individuo concreto espera al lanzar la moneda al aire, pero puede no ser el mismo número para otro individuo diferente. Por lo tanto, la principal diferencia conceptual entre la estadística frecuentista y la estadística bayesiana es la interpretación de lo que significa una probabilidad.

Históricamente, la visión bayesiana fue predominante a lo largo del Siglo XIX con los trabajos del estadístico y astrónomo francés Pierre-Simon Laplace a la cabeza. Sin embargo, el enfoque frecuentista dominó la ciencia estadística durante el Siglo XX, siendo pionero el estadístico y genetista inglés Ronald A. Fisher. Teniendo en cuenta el auge de los métodos bayesianos en los últimos años, cual será la perspectiva predominante en el Siglo XXI es una cuestión aún sin respuesta. Por ahora, simplemente podemos presentar un somero análisis de las principales diferencias entre ambos enfoques más allá de la interpretación conceptual o filosófica de lo que es una probabilidad.

Puntos en común

Antes de presentar las diferencias entre frecuentistas y bayesianos, es importante dejar claros los aspectos comunes. Por un lado, en ambos casos se utilizan modelos con parámetros desconocidos para caracterizar el mundo real. Por otro lado, ambos enfoques requieren la recolección de datos como base de la estimación de dichos parámetros desconocidos.

Las diferencias

En la práctica, la principal diferencia entre la estadística frecuentista y la bayesiana es el tratamiento de los parámetros desconocidos que queremos estimar para caracterizar el mundo real a través de los modelos económicos.

Los frecuentistas piensan en los parámetros como unos valores fijos pero desconocidos. La estimación se basa en la elección de aquellos valores de los parámetros que maximizan la probabilidad de observar los datos.

Por su parte, los bayesianos interpretan los parámetros como variables aleatorias cuya distribución de probabilidad es estudiada en base al Teorema de Bayes. La idea es simple, un bayesiano ha de tener una distribución subjetiva de los parámetros antes de ver los datos (a priori) que modificará en función de los datos que haya observado para obtener una distribución a posteriori que resumirá todo el conocimiento del investigador sobre los parámetros de interés dados los datos y sus creencias a priori.

El Teorema de Bayes es la clave

El siguiente ejemplo trata de ilustrar el funcionamiento del Teorema de Bayes en la combinación de las creencias subjetivas a priori con los datos para obtener la estimación bayesiana. Imaginemos un juego de ruleta en el que hay 38 posibles huecos en los que la bola puede acabar con la misma probabilidad (desde el 1 hasta el 36 más el 0 y el 00). Si un jugador apuesta al número 10, yo pienso que la probabilidad de que gane es 1/38 (aproximadamente 2,6%). Esta es mi creencia a priori, antes de ver ningún dato. Ahora imaginemos que consigo ver que la bola ha parado y aunque no puedo ver el número en el que ha caído, puedo ver que el hueco es de color rojo. Esta visión puede interpretarse como los datos que observo, la muestra que tengo disponible. Pues bien, dado que hay 18 huecos rojos en la ruleta y el número 10 es uno de ellos, actualizo mis creencias y ahora pienso que la probabilidad de que gane es 1/18 (5.6%). Habiendo observado los datos, el hueco rojo en que la bola ha caído, modifico mis creencias sobre la probabilidad de ganar (o parámetro de interés).

La idea fundamental del Teorema de Bayes es, por tanto, la modificación de mis creencias una vez que observo los datos. De aquí surge la principal crítica de los frecuentistas al enfoque bayesiano. Basar el análisis en unas creencias subjetivas del investigador de las que el resultado depende de forma crucial parece poco riguroso. Sin embargo, cuando realmente hay creencias fuertes y consensuadas sobre determinados parámetros, como por ejemplo que el coeficiente del precio en una función de demanda es negativo, ¿por qué no hacerlas explícitas y transparentes a través del análisis bayesiano? Por otro lado, sabemos que si tenemos una muestra suficientemente grande (aquí, como siempre, no está claro qué es una muestra suficientemente grande porque dependerá de la complejidad del problema analizado) la creencia a priori del investigador se ve dominada por los datos y su influencia en el resultado final disminuye hasta hacerse inocua con una muestra de infinitas observaciones. Finalmente, sabemos que hay muchos resultados frecuentistas que pueden obtenerse desde una perspectiva bayesiana aunque la filosofía subyacente sea diferente. Mínimos cuadrados ordinarios (MCO) es el ejemplo más sencillo. Dicho estimador frecuentista coincide exactamente con la media de la distribución bayesiana bajo unas creencias concretas en el marco del modelo lineal normal. Existen en la literatura muchos otros ejemplos.

Contrastando hipótesis

Teniendo en cuenta la conexión entre ambos enfoques en la práctica y la posibilidad de obtener los mismos resultados bajo ambos enfoques, los bayesianos argumentan que su interpretación del problema es siempre más intuitiva y natural. Recordemos que un bayesiano proporcionaría conclusiones del tipo: “hay un 95% de probabilidad de que el parámetro esté entre 0,3 y 0,8”, sin embargo, un frecuentista afirmaría: “si generáramos 100 muestras aleatorias del mismo tamaño y repitiéramos la estimación 100 veces, en 95 de ellas el parámetro estimado estaría entre 0,3 y 0,8”.

Los contrastes de hipótesis parecen por tanto más naturales en el marco bayesiano. Para un bayesiano convencido, un p-valor o un t-ratio es una herejía, ya que lo único que necesitamos para contrastar hipótesis es tener la distribución a posteriori de los parámetros. Salvo en contadas excepciones, un frecuentista basa su contraste de hipótesis en el análisis asintótico, es decir, en calcular p-valores de la distribución asintótica del estimador (no del parámetro verdadero, que es un valor fijo). Esta distribución, mayoritariamente normal gracias a numerosos teoremas centrales del límite, es la que el estimador tendría si el investigador tuviera muchos más datos de los que realmente tiene… ¿es ésta una buena forma de hacer inferencia en general? Por el contrario, el bayesiano se basa en la distribución de los parámetros dados sus datos, que puede en principio tener cualquier forma no gaussiana.

Conclusión

A modo de conclusión, mi opinión personal es que ninguno de los dos enfoques es mejor que el otro en general. Cada uno tiene ventajas y desventajas. La visión frecuentista domina actualmente la práctica econométrica, pero es también cierto que esta creciendo el interés en lo bayesiano, en buena medida debido al desarrollo de la capacidad computacional de los ordenadores de sobremesa. Cuál será el enfoque predominante en años venideros no es obvio, a veces tomamos como estado estacionario el status quo, pero no tiene porque ser así, recordemos que en el Siglo XIX la estadística era mayoritariamente bayesiana. Por lo tanto, pienso que entre las herramientas de cualquier economista aplicado debe haber hoy en día elementos de ambas escuelas.

Enrique Moral-Benito es doctor por el CEMFI y económetra.